Jednotažky — metodické poznámky k hodině

Související materiály:

• Kapitola učebnice
• [[[:Archiv:Učebnice/Grafy/Jednotažky/Hodina/PRIM-UL]] Plán hodiny] (k použití přímo ve výuce)

V této hodině studenti hlouběji prozkoumají jednotažky. Nejde jen o hlavolam ze zadních stran víkendových magazínů, najít průchod grafem bez opakování hran se hodí i v praxi. Pro studentyu je to zároveň příležitost k samostatnému zkoumání, logickému vyvozování, formuování a testování hypotéz.

Průběh hodiny

Na začátku hodiny zařadíme cvičnou úlohu, k jejímuž řešení se využijí podobné argumenty jako u jednotažek. Potom připomeneme úvodní úlohu se strážným, která je ve skutečnosti také úlohou na zjištění, jeslti je graf jednotažkou. Větší část hodiny studenti stráví snahou najít a zformulovat pravidlo, které by jim umožnilo poznat, kdy je graf jednotažkou. Ze zpětného pohledu je pravidlo takřka triviální, ovšem odhalit jej vyžaduje vytrvalost a u některých studentů směrování od ostatních nebo od učitele. Není nutné prozrazovat řešení, stačí pomoci pokládat správné otázky.

Na konci hodiny budeme mít jasné pravidlo (jednotažka má všechny vrcholy sudého stupně), které jasně říká, jak úlohy řešit: stačí ověřit, jestli z každého vrcholu vychází sudý počet hran (až na případný počáteční a koncový vrchol).

Společně se studenty zformulujeme důkaz, který zároveň ukáže, že najít to nakreslení jedním tahem je už snadné.

Na závěr se vrátíme k úloze se strážným, abychom ukázali, jak poznatky z hodiny prakticky využít.

Další poznámky

• I zde studentům pomůže práce ve dvojicích. Nutí je vyslovovat myšlenky nahlas. Kromě toho je kolega zdrojem kontroly i různých nápadů. V neposlední řadě studenti stihnou prozkoumat větší počet grafů, čímž zvyšují šanci na odhalení řešení.
• Studenti se soustředí na zkoumání jednotažek, mezitím ale pracují s několika důležitými principy, které uplatní i později: implikace jsou jednosměrné a je nutno je posuzovat zvlášť, na kvantifikátorech záleží ("všchny vrcholy", "aspoň jeden", "žádný vrchol"...) atp.
• Místo jednotažek bychom se mohli věnovat i jinému se základních témat o grafech: např. rovinnosti, barevnosti, hledání cest nebo koster. Jednotažky se obecně osvědčily jako přiměřeně jednoduché a zároveň zajímavé.
• V učebnici záměrně používáme různé formulace vět o jednotažkách. Není důležité pamatovat si jakékoliv doslovné znění. Studenti mají pochopit podstatu a mají být schopni sami rozpoznat, že uvedené formulace říkají totéž.
• Pokud je potřeba hodinu přerušit a nechat studenty pracovat doma, je vhodné je nechat 1-2 hypotézy o jednotažkách napsat, spolu s komentářem, jak si s danou hypotézou poradili: Povedlo se prokázat jejich platnost? Najít podpůrné argumenty, proč by měly fungovat? Nebo se povedlo najít protipříklady, takže studenti hypotézu zavrhli a nějak přepracovali?