Přípravy

Ke studiu informatiky se hodí leckteré znalosti z dalších předmětů, nejčastěji matematiky. Není třeba číst tuhle kapitolu hned, klidně se vrhni rovnou na samotnou informatiku. Občas se sem ale možná budeš potřebovat vrátit (v pravou chvíli na to upozorníme).

Než sem doplníme vhodné odkazy nebo vlastní úplnější materiály, uvedeme alespoň heslovitý provizorní přehled toho, co pomáhá informatice dobře porozumět.

Výroková logika

Kde se uplatní, kde se neuplatní a k čemu je dobrá: když dovedu problém zformulovat pomocí logických výroků, může mi logika pomoct najít zaručeně správné řešení (nebo aspoň zkontrolovat řešení, které jsem našel jinak).

• A zároveň, nebo, negace, a vztahy mezi nimi („neplatí zároveň A a B“ je logicky totéž, co „neplatí A nebo neplatí B“)
• Kvantifikátory a jejich negace (opakem „snědl všechny bonbóny“ není „nesnědl žádný bonbón“, nýbrž „nějaký bonbón nesnědl“)
• Co je nutná a co postačující podmínka
• Zrady přirozené řeči:
  • Logická implikace nutně neznamená kauzalitupříčinnou souvislost. Jakkoliv by to bylo skvělé. Pro platnost implikace naprosto nezáleží na tom, co vůbec dva výroky spojené implikací znamenají, natož jestli to nějak souvisí. Implikace je platná, pokud jejich pravdivostní hodnoty odpovídají definici (tzn. jsou jakékoliv kromě případu, kdy platí pouze ten první a druhý ne).
    Žralok, který štěká, nekouše (neboli žralok štěká ⇒ žralok nekouše), je perfektně platná implikace. Nikoliv proto, že by štěkající žraloci byli nějak zvlášť přátelští, ale prostě proto, že vůbec neexistují. O každém z nich proto platí, že nekouše. Ze zcela stejného důvodu platí implikace o tom, že štěkající žralok kouše.
  • V logické implikaci záleží na pořadí, nelze jej libovolně měnit. Na základě platnosti uvedených implikací se žralokem nelze tvrdit, že žralok, který nekouše, štěká.
  • Logické nebo nevybírá jedinou možnost. Na otázku „Dáš si šťávu nebo čaj?“ odpoví logik „Ano,“ a pak si dá v klidu oboje. V psané formě ale existuje (slabá) naděje: vzpomeň si, jak se kolem nebo píšou čárky.
  • Negace, tedy „opak“, není „co nejvíc naopak“, nýbrž „co nejmíň naopak“. Opakem „Nor“ není „Řek“, ale prostě kdokoliv, kdo není Nor, takže klidně Švéd. Pomůcka je, že musí vždy platit jedno, nebo druhé.

Příležitostí potrénovat logiku je v informatice nepočítaně.

Množiny

To se snad rozumí samo sebou, ale občas se najde student, který si není jistý...

• ...co je to množina, prázdná množina, podmnožina?
  • ...co se stane, když do množiny vložíme prvek, který už tam jednou je? (Nic, už tam přece je.)
  • ...co se stane, když prvky množiny zamíchám? (Nic, v množině nic jako „pořadí prvků“ neexistuje.)
• ...co je to sjednocení, průnik, rozdíl množin?
• ...jak se pozná, jestli jsou si dvě množiny rovny? (Obsahují právě tytéž prvky)

Dvojková soustava

Na to sem jistě vhodný materiál přidáme. Obecně stačí vědět, jak funguje soustava desítková, a že dvojková funguje úplně stejně, jen místo základu 10₁₀ počítá se základem 10₂, neboli 2₁₀.

Takže když v desítkové soustavě platí

63510 = 6⋅100 + 3⋅10 + 5⋅1 = 6⋅102 + 3⋅101 + 5⋅100

tak potom ve dvojkové soustavě platí

10112 = 1⋅23 + 0⋅22 + 1⋅21 + 1⋅20 = 8 + 0 + 2 + 1 = 1110

Celkem běžně pracuješ se soustavou šedesátkovou. Převod z a do dvojkové (a každé jiné) soustavy funguje v principu stejně, jako když převádíš čas v hodinách, minutách a sekundách na počet samotných sekund a zpět ze sekund na srozumitelný čas.

Nejvyšší číslice ve dvojkové soustavě je 1 (a v desítkové 9). Takže když 999₁₀+1=1000₁₀, tak 111₂+1=1000₂. Vzpomeň si také na postup písemného sčítání a další postupy pro desítkovou soustavu. Ověř, co je potřeba upravit, aby fungovaly pro soustavu dvojkovou. Jak asi funguje dvojková soustava za „desetinnou“ čárkou? Odpověď nám dá opět soustava desítková.

Exponenciální funkce a logaritmus

Je třeba vědět, co je to exponenciální funkce, že se s ní setkáme často, a že rosteNebo klesá, ale s tím se v informatice tolik nesetkáme nepředstavitelně rychle. Exponenciálně se mění velikost listů papíru řady A, množí bakterie, přibývají vrstvy listového těsta, vybuchují jaderné bomby, zrychlují se počítače. Na exponenciální vývoj je třeba si dávat pozor, protože máme tendenci jej podcenit (vnímáme kratší časový úsek, kdy vývoj vnímáme jako lineární) a pak jsme překvapení.

Logaritmus je inverzní funkce k funkci exponenciální. Komu nezbyde žádná lepší možnost (např. pochopení logaritmu díky zkušenosti s množstvím příkladů), musí si najít a naučit se nějakou více či méně obskurní „básničku“, např.:

• Logaritmus říká, na kolikátou je třeba umocnit základ, abychom dostali argument.
• Umocněním základu na logaritmus výsledku dostaneme výsledek.
• (nebo jinou variantu)

Básnička není definice, ale spolu se zbytky matných vzpomínek pomůže vždy znovu objevit, co je logaritmus vlastně zač. Někomu lépe než básnička funguje příklad (musí ho ale umět náležitě zobecnit):

• N předků jsem měl v log₂(N)-té generaci před tou mojí.
• Číslo N vyžaduje právě log_z(N)+1 míst v zápisu v soustavě o základu z.

Bez logaritmu do informatiky nepronikneš. Výhoda je, že v informatice často vystačíme s logaritmem celočíselným. Co je za desetinnou čárkou, zahodíme a spokojíme se s přibližnou hodnotou.

Kromě samotné znalosti pojmu logaritmus je vhodné vědět, jak spočítat logaritmy různých základů třeba na kalkulačce. V informatice nás totiž nejvíc zajímá logaritmus o základu 2, což většina kalkulaček přímo počítat neumí.

Kombinatorika

Jak spočítat počet všech možných slov dané délky z dané abecedy? Kolik je možných pořadí (uspořádání) daného počtu prvků? Kolika způsoby lze vybrat podmnožinu dané velikosti z množiny dané velikosti? Není až tak důležité znát vzorečky (i když je to praktické), důležitější je vědět, proč a jak fungují (bez toho jsou ti k ničemu). K porozumění se hodí např. úvaha o tom, jak se počet těch věcí (slov, pořadí...) změní, když někam přidám prvek. Jiný způsob spočívá v postupném systematickém vypsání všech těch možností, které máš spočítat.

Dále je užitečné mít na paměti, že v kombinatorice dostáváme nepředstavitelně velké výsledky už pro malá vstupní čísla. 20+30 je prima, 20⋅30 taky, ovšem 20! nebo 30²⁰, to je najednou jiná káva.

Pravděpodobnost

Pravděpodobnost je podíl počtu příznivých jevů a počtu všech jevů. Když 68 rán z minulého roku pršelo, řeknu, že pravděpodobnost ranního deště je 68/365. Pravděpodobnost nám umožňuje racionální rozhodování v situacích s nějakou nejistotou. Nevíme jistě, jak bude zítra, jestli náš los vyhraje, jestli je lepší investovat úspory do helmy na kolo, nebo na snowboard. Související jevy proto prohlásíme za náhodné a uplatníme pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi.

Pro naši informatiku nepotřebujeme o moc víc, než intuitivní pochopení toho principu počítání „jevů“. K tomu patří fakt, že když na kostce už pětkrát nepadla trojka, tak má i nadále pravděpodobnost 1/6. Jedna šestina všech hodů bude trojka v případě velkého množství opakování. Určovat očekávání v konkrétních jednotlivých případech je obtížné. Z toho, že se někomu narodí děvče, nijak neplyne že to příště musí být kluk, jinak by to přece nebyla pravděpodobnost 1/2(což ona stejně není).

Statistika

Není potřeba vědět mnoho, ale každý musí chápat, jak je možné, že většina lidí má podprůměrný plat a nadprůměrný počet rukou.

Kromě toho by měl každý tušit, že statistika neslouží jen k popisování velkých souborů dat (např. k počítání mediánu mzdy), ale i k odpovídání na složitější otázky. Když se zeptáme na volební preference pěti set voličů, jak moc se získaný odhad bude lišit od preferencí všech voličů? Když je spolehlivost maturitní zkoušky vyčíslena na danou hodnotu, kolik lidí zkoušku nezaslouženě složí, a kolik je naopak nespravedlivě vyhozeno? Když jeden recenzent knihy objevil 12 chyb, a druhý 16, ale jen 9 se shodovalo, kolik asi chyb v knize zůstává neobjeveno? Když se podíváme na výrobní čísla těch několika nepřátelských tanků, které jsme zajali, kolik asi má nepřítel tanků celkem?

Tyhle otázky samozřejmě není třeba umět řešit, ale je dobré o nich vědět: statistika neslouží jen ke shromáždění dat, výpočtu průměru a vygenerování grafu.