Jednotažky — metodické poznámky k hodině
Související materiály:
- Kapitola učebnice
- Plán hodiny (k použití přímo ve výuce)
V této hodině studenti hlouběji prozkoumají jednotažky. Nejde jen o hlavolam ze zadních stran víkendových magazínů, najít průchod grafem bez opakování hran se hodí i v praxi (v nejjednodušších příkladech se podél těch hran něco provádí - kontroluje kabel či potrubí, čistí chodník, roznáší dopisy, natírá plot nebo vodorovná dopravní značka...). Pro studenty je to zároveň příležitost k samostatnému zkoumání, logickému vyvozování, formulování a testování hypotéz. Tohle je tedy jedna z hodin, kde se opíráme o předchozí průpravu v logice (ať už v hodinách informatiky či matematiky).
Průběh hodiny
Na začátku hodiny zařadíme cvičnou úlohu, k jejímuž řešení se využijí podobné argumenty jako u jednotažek. Potom připomeneme úvodní úlohu se strážným, která je ve skutečnosti také úlohou na zjištění, jeslti je graf jednotažkou. Větší část hodiny studenti stráví snahou najít a zformulovat pravidlo, které by jim umožnilo poznat, kdy je graf jednotažkou. Ze zpětného pohledu je pravidlo takřka triviální, ovšem odhalit jej vyžaduje vytrvalost a u některých studentů směrování od ostatních nebo od učitele. Není nutné prozrazovat řešení, stačí pomoci pokládat si správné otázky.
Na konci hodiny budeme mít jednoduché pravidlo (jednotažka má všechny vrcholy sudého stupně, popř. otevřená jednotažka má právě dva vrcholy stupně lichého), které jasně říká, jak úlohy řešit: stačí ověřit, jestli z každého vrcholu vychází sudý počet hran (až na případný počáteční a koncový vrchol).
Společně se studenty zformulujeme důkaz, který zároveň ukáže, že najít to nakreslení jedním tahem je už snadné.
Na závěr se vrátíme k úloze se strážným, abychom ukázali, jak poznatky z hodiny prakticky využít.
Další poznámky
- I zde studentům pomůže práce ve dvojicích. Nutí je vyslovovat myšlenky nahlas. Kromě toho je kolega zdrojem kontroly i různých nápadů. V neposlední řadě studenti stihnou prozkoumat větší počet grafů, čímž zvyšují šanci na odhalení řešení.
- Studenti se soustředí na zkoumání jednotažek, mezitím ale pracují s několika důležitými principy, které uplatní i později: implikace jsou jednosměrné a je nutno je posuzovat zvlášť, na kvantifikátorech záleží ("všechny vrcholy", "aspoň jeden", "žádný vrchol"...) atp.
- Místo jednotažek bychom se mohli věnovat i jinému se základních témat o grafech: např. rovinnosti, barevnosti, hledání cest nebo koster. Jednotažky se obecně osvědčily jako přiměřeně jednoduché a zároveň zajímavé a užitečné.
- V učebnici záměrně používáme různé formulace vět o jednotažkách. Není důležité pamatovat si jakékoliv doslovné znění. Studenti mají pochopit podstatu a mají být schopni sami rozpoznat, že uvedené formulace říkají totéž.
- Pokud je potřeba hodinu přerušit a nechat studenty pracovat doma, je vhodné je nechat 1-2 hypotézy o jednotažkách napsat, spolu s komentářem, jak si s danou hypotézou poradili: Povedlo se prokázat jejich platnost? Najít podpůrné argumenty, proč by měly fungovat? Nebo se povedlo najít protipříklady, takže studenti hypotézu zavrhli a nějak přepracovali?
