Odkazy na kapitoly k ověřování najdete na úvodní stránce. Tyto vzdělávací materiály jsou alfa verzí určenou k ověřování ve školním roce 2018/2019 v rámci projektu CZ.02.3.68/0.0/0.0/16_036/0005322 Podpora rozvíjení informatického myšlení.


Úvod

Z Informatika pro každého
Přejít na: navigace, hledání
Myšlenkové mapy · Zapisování grafů
ikona boxu
Co se naučíš:
  • Co a k čemu jsou modely.
  • Co a k čemu jsou grafy (v informatice).
  • Jakými pojmy o grafech mluvíme.
  • Rozpoznat v zadání co je pro řešení podstatné a co nikoliv.
  • Modelovat pomocí grafů různé situace a řešit různé problémy.

TODO: ???

nebo do mmap v minulé kapitole?
  • Vytvořit jednoduchý graf v některém editoru na počítači, včetně označení a rozmístění vrcholů a hran

TODO: nejake uvodni slovo

ikona boxu
Obvyklý průběh hodiny a metodické poznámky


Informace v tomto boxu lze zobrazit samostatně (např. pro tisk).

Související materiály: Plán hodiny (k použití přímo ve výuce), TODO: [0 Pracovní list pro studenty] ------------- vkládat podmínečně, jen pokud PL existuje TODO: vytvořený v rámci projektu PRIM. --- doplň odkaz na PRIM, vkládej jako šablonu, aby se vložil externí odkaz

TODO: RVP cíle:

formuluje problém a požadavky na jeho řešení; získává potřebné informace, posuzuje jejich využitelnost a dostatek (úplnost) vzhledem k řešenému problému; používá systémový přístup k řešení problémů; pro řešení problému sestaví model (úkol 4) převede data z jednoho modelu do jiného; najde chyby daného modelu a odstraní je; (úkol 3f) porovná různé modely s ohledem na užitečnost pro řešení daného problému (úkol 3f a 4e)

V této hodině studenti dojdou ke grafům a seznámí se se základními pojmy. Průběh je poměrně přímočarý: při řešení úloh vyplyne, že je užitečné nakreslit si schéma, a následně to schéma pojmenujeme. Zároveň ukážeme, že to, co studenti dělají, je modelování. V závěru hodiny si studenti vyzkouší grafy vytvářet na počítači.


Na začátku studenti ve skupinkách řeší některou z předložených úloh. Řešení většiny úloh je dosti jednoduché. Studenti mají ale také za úkol je zformulovat tak, aby o správnosti přesvědčili ostatní. Zároveň je pro každou skupinku poměrně přísně omezený čas. Mnoho skupin proto použije více či méně přehledný graf (i v případě, že řešení našli jiným způsobem).

Pokud studenti kreslí na tabuli, snažíme se zorganizovat místo tak, aby na konci na tabuli zůstalo několik grafů. Jedna z možností je nechat několik skupin zároveň připravit potřebné obrázky na různé části tabule. Tím se zároveň ušetří čas, který studenti potřebují ke kreslení.

Na předvedených řešeních si všimneme jejich společného prvku: většina obsahovala nějaká nakreslená schémata z věcí spojených čarami. Úlohy přitom byly velmi rozdílné. Na základě toho se rozhodneme tato schémata blíže prozkoumat a zavést základní pojmy. Souvisejících pojmů je celá řada. S jejich případným zavedením je ale lepší počkat až do okamžiku, kdy se bez nich studenti dále neobejdou.

Zároveň studentům představíme, co už taktéž intuitivně používají, totiž modelování. Následně se k řešeným úlohám vrátíme, abychom zhodnotili, jak jsme je namodelovali. Tedy jestli jsme ze zadání opravdu vybrali právě jen podstatné informace a zorganizovali je tak, aby nám maximálně usnadnily řešení.

V závěru hodiny si studenti vyzkouší práci s nějakým editorem grafů. Nemá smysl se učit podrobně jeho jednotlivé funkce, spíše téma využíváme k procvičení schopnosti vyznat se rychle v nové aplikaci. Zároveň žáci zjistí, jaké možnosti editor nabízí, a budou po něm moci ve vhodných chvílích sáhnout.


Poznámky k jednotlivým úlohám

Uvedené úlohy nemají stejnou obtížnost, takže je lze rozdělit s ohledem na schopnosti jednotlivých pracovních skupin. Různorodost úloh jednak naznačuje šíři situací, v nichž se uplatní grafy, a jednak zvyšuje šanci, že studenty jeden z příkladů zaujme natolik, aby se mu věnovali hlouběji.

Vlaková síť Trainsylvania 
Studenti na stránce [1] hledají spojení do stanice Suburbopolis. Vlakové spoje mezi stanicemi jsou dost svérázné, tabulka nebo plánek velmi pomůžou rychlému řešení. Přitom je potřeba si uvědomit, že z každé stanice odjíždí právě dva vlakové spoje a že jsou jednosměrné. Při kreslení grafu rukou není hned zřejmé, jak se vyhnout křížení hran. Hezky pak vynikne rozdíl při použití editoru, v němž je mnohem snazší vrcholy posouvat a křížení odstranit.
Batůžkáři 
Studenti hledají nejkratší cestu. Graf je velmi malý, téměř není třeba použít žádný systematický postup. V každém případě jim ale pomůže, když si situaci nakreslí, což je také smyslem zadání úlohy. Některé správně napadne, že není nutno přepisovat celé označení míst, stačí nějaké zkrácené identifikátory. Jak se batůžkáři jmenují nebo jak prudce se kde stoupá je už jedno úplně. Dále je nutno správně odhalit, že vrtulník a lanovka neznamenají chůzi pěšky. V grafu je tak dokonce možné nástupní a výstupní vrcholy spojit. Takovéto úvahy žáci provádí, když se k řešení vrátí, aby zhodnotili, jak účelně situaci modelovali.
Strážný 
Z této úlohy vychází zájem o jednotažky v následujících kapitolách, doporučujeme ji tedy zařadit. Nalézt řešení (resp. přesvědčit se, že neexistuje) není těžké, když se použije obrázek. O to větší důraz věnujeme preciznosti vyjadřování a argumentace studentů. Opět nezáleží na tom, jak se konkrétní místnosti jmenují, ani jak přesně jsou umístěny. Záleží jen na jejich propojení. Pochopitelně není potřeba ani kreslit chodby jako chodby (s oběma stěnami) - i od toho můžeme abstrahovat.
Infrastruktura 
Tato úloha je obtížnější než ostatní, protože vyžaduje daný graf nakreslit do roviny. Co víc, požadovaný graf (resp. síť rozvodů) do roviny nakreslit nelze, což je nutno prokázat systematickým prověřením možností. Je možné, že studenti zdánlivě nic nepředvedou a jen zkonstatují, že se řešení v daném čase najít nepodařilo. Budou mít pravdu, ale jejich zjištění není příliš užitečné. Měli by zkusit zformulovat (příp. nakreslit), co přesně se nepodařilo. Taková informace pomůže na práci navázat a nakonec zjistit, že propojení s požadovanými vlastnostmi neexistuje.
Rodinka 
Tato úloha je velmi jednoduchá, téměř všichni studenti už někdy viděli nakreslený rodokmen a úlohu úspěšně vyřeší. Nestačí ale jen členy rodiny pospojovat čarami, různé druhy vztahů je třeba rozlišit.
Sněhová kalamita 
Další velmi snadná úloha, hledá se tzv. kostra jednoduchého neohodnoceného grafu. Některé studenty ale zaskočí počet možných řešení. Ne všichni také hned vidí, že všechna řešení obsahují stejný počet úseků. Otázka na kvalitu otevírá diskusi o kritériích. Ze zadání žádná neplynou, ale lze např. uvažovat, jak minimalizovat průměrnou vzdálenost mezi uzly ve vyčištěné síti, nebo jak upřednostnit uzly uprostřed, které by mohly být důležitější. Na kluzkém povrchu dává smysl upřednostnit minimalizaci zatáčení.
Výlet 
Tato úloha se vymyká tím, že modelování situace pomocí grafu není přímočaré. Matoucí je, že zachycujeme i vztahy mezi lidmi, kteří spolu nepojedou. Někteří studenti ji opravdu řeší pracněji, pomocí textových popisků. Znázornit situaci obrázkem je ovšem mnohem přehlednější a tím i přesvědčivější. Jasně např. ukáže, že vlastně řešíme dvě nezávislé skupinky.


Závěrečné poznámky

  • Někteří studenti se mohou podivovat vztahu úloh (či dokonce grafů) k informatice. Odpověď je snadná: takové úlohy informatici opravdu řeší. Zde jsou značně zjednodušené jen pro účely výuky. Informatici se zabývají právě tím, jak řešit velké případy (např. s mnoha křižovatkami apod.), a jak k řešení efektivně využít počítač. Učí se to ale samozřejmě na případech malých. Dále lze uvést i „informatické“ příklady grafů, což by také mělo být dostatečně přesvědčivé (záleží hlavně na tom, co studenti od informatiky očekávají, ale najít či vymyslet příklady z dané oblasti jistě není těžké).


Úvodní úlohy

Utvořte skupinky a vyřešte některou z následujících úloh. Připravte se vaše řešení předvést ostatním. Budete mít omezený čas, soustřeďte se na stručnost a zároveň přesvědčivost vašeho vystoupení. Zvažte (v souladu s pokyny učitele), jestli vaše sdělení podpoří nějaké kreslení na tabuli či promítnutí několika obrázků či slajdů (musí ale být jednoduché, abyste je stihli připravit).

ikona boxu
Úloha: Batůžkáři

Z chaty na východní úpatí je to 2 km, na západní úpatí 3 km, na jižní úpatí ke stanici lanovky 5 km. Z východního úpatí na vrchol je to 4 km, ze západního 5 km. Na jižním se nastoupí na lanovku dlouhou 700 m a od lanovky se jde na vrchol už jen 500 m. Pěšky z jižního jsou to 2 km prudkým stoupáním. Z chaty se dá jít taky údolím k heliportu (4 km). Odtud se doletí buď 1 km od vrcholu, nebo přímo k dolní stanici lanovky.

Jak se batůžkáři Adam, Barbora a Marie dostanou z chaty na vrchol tak, aby při tom našlapali nejméně kilometrů?

ikona boxu
Nápověda

Zkuste si situaci nějak znázornit. Uvažujte při tom, co je a co není pro řešení důležité. Můžete jednotlivá místa zakreslit, spojit cestami a připsat jejich délky. Pomůže, když jsou délky cest v poměru se zadáním, ale není to nutné. Zjistíte, že cest na vrchol není mnoho a nemáte-li lepší nápad, můžete je systematicky prověřit.

Řešení

Batuzkari.svg

S pomocí obrázku lze prostým zkoušením celkem rychle najít nejkratší cestu, přičemž slovem „nejkratší“ máme na mysli délku chození (lanovka ani vrtulník se tedy nepočítají). Jiná věc je dokázat, že nalezená cesta opravdu nejlepší je a že jsme nic nepřehlédli. V jednoduchých případech nám k tomu naštěstí pomůže rozbor všech případů, tedy všech možných cest z chaty na vrchol. Díky nákresu můžeme snadno postupovat systematicky.

ikona boxu
Úloha: Strážný

V podzemním výrobním zařízení hlídá v noci strážný. Zařízení tvoří místnosti spojené různě dlouhými chodbami. Strážný musí pravidelně všechny chodby projít. Z vrátnice vede po jedné chodbě do šatny, skladu i kantýny. Mezi skladem a kantýnou je přímá chodba. Ze šatny vedou chodby do všech ostatních místností. Do dílny se lze dostat kromě šatny také ze skladu.

Najdete pro strážného takovou trasu, aby na ní prošel všechny chodby právě jednou? Lze to udělat tak, aby obchůzku skončil na stejném místě, kde ji začal? Existuje takových tras víc?

ikona boxu
Nápověda

Zkuste si situaci nějak znázornit. Všimněte si, že úloha obsahuje více než jednu otázku. Přinejhorším lze vyzkoušet všechny možnosti. Pokud se nějakou chvíli nedaří, uvažte, jestli úloha vůbec nějaké řešení mít musí.

Řešení

Strazny s resenim.svg

Trasu najít lze, například z vrátnice přes kantýnu, a sklad znovu do vrátnice, odtud pak do šatny, skladu a dílny, znovu šatny a skončit v kantýně. Existuje i mnoho dalších možností. Pokud bychom ale chtěli, aby se strážný ještě v rámci obchůzky vrátil na místo, odkud vyšel, nepořídíme. Zdůvodnit to můžeme rozborem (a vyloučením) jednotlivých potenciálních možností s pomocí několika logických úvah. Na tuto problematiku se brzy podíváme i podrobněji.

ikona boxu
Úloha: Infrastruktura

Z plynárny a elektrárny je třeba rozvést plyn a elektřinu do tří různých měst. Vodu čerpají přímo ze studní, je ale splašky je třeba svést do čističky. Aby se snížilo riziko poruchy či výpadku, je dobré vedení umístit do země a tak, aby se nikde nemusela křížit. Vedení nemusí být rovná, ale nevětví se, musí vést vždy přímo, nikoliv přes jiné město (rovná být nemusí).

Navrhněte rozmístění zařízení, měst a vedení.

Infrastruktura.svg

Pomohlo by případně některá zařízení (nebo města) postavit jinam?

ikona boxu
Nápověda

Asi budete potřebovat více pokusů — použijte tužku a gumu, nebo vhodný editor. Postupujte systematicky, abyste zbytečně nezkoušeli stejnou možnost několikrát.

Řešení

Daná propojení rozvrhnout nelze, a to ani s případným jiným rozmístěním měst a zařízení. Můžete se o tom přesvědčit pečlivým rozborem všech případů. Ať už budete postupovat jakkoliv, vždy uzavřete z jednotlivých vedení okruh, přičemž nějaké další vedení by ho muselo protnout (např. když zbude elektrárna uvnitř okruhu a neelektrifikované město vně).

Naznačeným způsobem se pochopitelně neřeší žádná skutečná vedení. Obdobné problémy se nicméně řeší při navrhování elektrických obvodů (přinejmenším z výrobních důvodů je velmi vhodné, aby se vešly na plochu a bez křížení).

ikona boxu
Úloha: Rodinka

Bořek má dvojčata, syna Adama a dceru Gábinu. Daniela má dceru Zuzanu a již odrostlejšího syna Jana. Hanka je ženou Bořka. Cecil je manželem Ilony. Hančin přísný otec je Cecil, Ilonin otec se jmenoval Karel. Karel byl zároveň dědečkem Daniely. Celá rodina žije v jednoduchém světě, kde se neopakují jména a nestřídají partneři.

V jakém vztahu jsou Adam a Daniela?

ikona boxu
Nápověda

Zkuste si situaci nějak znázornit. Můžete použít i nějaký software, čímž si usnadníte změny polohy členů rodiny. Nemusíte tedy gumovat a překreslovat pokaždé, když netrefíte správné generační vztahy.

Řešení

Rodinka.svg

Šablona:Claar Jak vidno, Daniela je Adamovou tetou, Adam je Danieliným synovcem. Obrázek jsme vytvořili pomocí služby Family Echo.

ikona boxu
Úloha: Sněhová kalamita

Sníh zaskočil silničáře a ti se snaží co nejdřív opět zprovoznit síť městských ulic. Město je tvořeno dvanácti čtvercovými bloky domů, vchody jsou vždy na rozích bloku. Bloky jsou uspořádány ve třech řadách a čtyřech sloupcích. Za zprovozněnou prohlásíme takovou síť, ve které se lze od každého vchodu (na rohu některého bloku) dostat do libovolného jiného vchodu (třeba i oklikou).

Které úseky ulic (mezi dvěma křižovatkami) je třeba protáhnout, aby byla síť zprovozněna? Kolik úseků to je? Silničáři samozřejmě nechtějí protahovat nic navíc, naopak potřebují, aby byla síť co nejdříve zprovozněna. Existuje více řešení? Pokud ano, které z nich je nejlepší, proč?

ikona boxu
Nápověda

Zkuste si situaci znázornit obrázkem. Asi není problém najít nějaké řešení, jak ale odhalit to, které vyžaduje nejméně odklízení?

Řešení

Ať už se silničáři rozhodnou zprovoznit síť jakkoliv, vždy musí protáhnout aspoň 19 úseků z 31. Zároveň to stačí — kdyby protáhli byť jediný úsek navíc, jen by uzavřeli nějakou smyčku, nepropojili by ale žádné domy, které dříve propojeny nebyly. Na obrázku vidíte některé z mnoha variant řešení. Uprostřed je síť zcela bez sněhu.

Snehova kalamita.svg

Co do počtu protažených úseků se jednotlivá řešení neliší. Lze přesto říci, že by některá byla lepší než jiná? Proč?

ikona boxu
Úloha: Výlet

Uspořádat výlet s kolektivem dospívajících není vždy jednoduché. Chtěli bychom co nejvyšší účast, jenže: Adéla nepojede, pokud pojede Hanka nebo Eva. Hanka a Eva rozhodně nepojedou zároveň. Naopak Běta a Cyril pojedou jedině spolu. Běta se ovšem nesnese s Danielou. Gábina se přátelí se všemi kromě Hanky.

Kolik nanejvýš lidí z popsané skupiny lze dostat na společný výlet? Kdo na výlet pojede?

ikona boxu
Nápověda

Zkuste si situaci nějak přehledně znázornit. Z dobrého znázornění už se dost jasně vyjeví, kdo by jet měl, a naopak čí účast nestojí za to, protože zabrání většímu počtu dalších účastníků.

Řešení

U téhle úlohy je nejtěžší nalézt způsob reprezentace situace tak, abychom se v ní vyznali. Nakresleme si schéma s jednotlivými potenciálními účastníky a vztahy mezi nimi. Spojíme čarou ty, kteří na výlet nemohou společně. Na výsledném obrázku pak vybíráme co největší skupinu lidí tak, že žádní dva nejsou propojeni (protože propojení znamená, že spolu nemohou jet). Díky obrázku hned vidíme, že vlastně řešíme dvě nezávislé podskupinky, což dost usnadňuje řešení. Celkem mohou jet nanejvýš čtyři účastníci, lze je vybrat dvěma způsoby.

Skolni vylet reseni.svg

Šedé postavy nepojedou (zobrazeno jedno z možných řešení).

Jak jste si poradili s Bětou a Cyrilem? Běta pojede, právě když pojede Cyril, a tím pádem na sebe vzájemně přenášejí i (ne)kamarádské vztahy k dalším lidem. Zdvojením všech takových vztahů (pro Cyrila i Bětu) zajistíme, že v nejlepším řešení vždy zahrneme oba dva, nebo ani jednoho. Z hlediska sítě vztahů jsou vlastně oba zcela stejní. To vede informatika ke zpřehlednění: prostě je spojí do jednoho bodu v síti, který ale bude počítat za dva.

Takovéto úlohy patří mezi nejobtížněji řešitelné. S větším počtem účastníků a složitějšími vztahy nemusí být v rozumném čase vůbec řešitelné.

Tak kde jsou ty grafy?

Všimli jste si, co mají uvedená řešení společného? Mnoho z nich využilo nějaká shémata či nákresy. Jednotlivé úlohy se přitom vzájemně velmi lišily. Setkali jste se s podobnými schématy či nákresy i v jiných souvislostech? Zdá se, že jsou takové obrázky využitelné ve velmi rozličných situacích. Pojďme se na ně podívat blíž.

Grafem v informatice rozumíme strukturu propojení dvojic nějakých objektů. Nejjednodušší je představit si příklad. Nějaké jste viděli v předchozích úlohách, zde přidáme nějaké další. TODO: strom výrazu — někde použít, ne nutně tady

Příklad: Grafy v různých souvislostech

Schematické znázornění hlavních metabolických cest.

Metabolism 790px.svg

Rozhodovací stromy jsou také grafy.

Strom 0 15.svg

Přechodový diagram stavů na Facebooku je také grafem.

Uvažujte:

  • Co znamenají uvedená procenta, z čeho se počítajíProcenta udávají podíl přechodů z daného výchozího stavu do jednotlivých cílových stavů. Z obrázku např. vyčteme, že 60.9 % stavů „it's complicated“ se změní na stav „single“.?
  • Mají nějaký význam tloušťky, resp. barva čarOdpovídají uvedeným procentům, usnadňují identifikaci nejčastějších přechodů.?
  • Co jsou ta čísla u jednotlivých stavůVyjádření délky trvání stavu ve dnech. Trvání se samozřejmě v jednotlivých případech liší, proto je zobrazen medián („poločas“).?
  • Chybí v obrázku něcoNapříklad přechody s pravděpodobností pod 10 %. A samozřejmě se jedná jen o výsek části uživatelů v omezeném čase.? Napadá vás pročCílem obrázku je přehlednost, méně důležité přechody je proto lepší vynechat.?
  • Jak to, že např. do stavu „single“ přechází víc než 100 % ostatních stavů, není to nějaký nesmyslNení, procenta vypovídají o opouštěných, nikoliv o cílových stavech.?
  • Vidíte nějaké zajímavostiNapříklad je zajímavé, že zasnoubení končí častěji rozchodem než manželstvím, nebo že méně než 10 % vztahů končí zasnoubením (jinak by byl zobrazen příslušný přechod).?
Zdroj: zápisek od Przemysław Biecek @ SmarterPoland.pl Science Foundation

Vztahove stavove prechody Facebook.png

Základní jednotky SI a jejich vazby. Které z nich jsou opravdu základní?

SI base unit.svg

Mapa (drobné části) internetu z roku 2005

Internet map 1024 - transparent, inverted.png

Mapa (velké části) internetu z roku 1982 pro srovnání

Internet map in February 82.png

TODO: sbírka dalších příkladů pro učitele -- ano, v úlohách

Grafy nám umožňují získat lepší přehled než například slovní popis situace. Umožňují nám abstrahovat od toho, co není důležité, a naopak se soustředit na to, co je pro naši úlohu či situaci určující. Další výhodou je možnost systematického prozkoušení všech možností řešení — to by šlo podle slovního popisu dost těžko.

ikona boxu
Pamatuj si:

Grafy slouží k modelování situací, kde záleží na vzájemných vztazích.

TODO: nebo jinam zásada: když nesouhlasí mapa a terén, přednost má terén Různé nástroje k modelování již znáte. Množiny používáme k modelování skupin, přirozená čísla k modelování jejich velikosti a reálná čísla k modelování vzdáleností. Model je reprezentace skutečnosti, která vynechává, co není důležité, a naopak zachovává, co důležité je. Smyslem modelu je zjednodušt jinak komplexní problém a soustředit se jen na to podstatné. Model terénu je třeba mapa, z chemie a fyziky znáte různé modely atomu, z psychologie modely lidské motivace atd. Přitom už víte, že třeba ten model atomu není přesným popisem skutečného atomu, je jen popisem dostatečně přesným. Všichni znáte pokyn „tření a odpor vzduchu zanedbejteU většiny školních úloh je opravdu zanedbat můžete. Víte ale třeba, při jakých rychlostech je už odpor vzduchu nezanedbatelný?“.

Modelování nám umožňuje vůbec porozumět světu, aniž bychom o rozum přišli. Jakékoliv naše představy o světě jsou vždy právě jen modely, protože o něm nedovedeme získat dostatek dostatečně přesných informací. Schopnost abstrakce (tedy poznat, co je důležité, a pominout to ostatní) je jedna z nejcennějších, kterou si ze školy máte odnést.

TODO: ukaž obrázek reál >model >řešení modelu >řešení reálu

TODO: úroveň abstrakce, Level Of Detail, přblížení na Google Maps a přepínání detailů, statistika (i když to jsou jen popisné modely!), "volební model" balicí se komponenty v yEd,asi je něco podobného i v Gephi

TODO: tady musí být příklad toho, jak nám to divné slovo "model" pomůže něco vyřešit TODO: Essentially, all models are wrong, but some are useful. ---- Box, G. E. P., and Draper, N. R., (1987), Empirical Model Building and Response Surfaces, John Wiley & Sons, New York, NY. ,p. 424,

ikona boxu
Úloha: Procvičení

Vraťte se k některé z úvodních úloh a pojmenujte, co je pro řešení důležité a potřebujeme to do grafu zahrnout, a co důležité není, a nemusíme se tím zabývat. U každé úlohy je to něco jiného.

Příklad řešení — Batůžkáři

U úlohy s batůžkáři nás zajímá, mezi kterými místy existuje spojení, a kolik se na něm turista nachodí. Naopak nás nezajímá konkrétní fyzická poloha jednotlivých míst, jak je který úsek strmý, ani jména účastníků výletu.

Slovníček

TODO: obrázek? ale opatrně (sbalit?), abych neprozradil moc brzo Během dosavadní práce s grafy jste možná pocítili potřebu některé věci pojmenovat. Zde nabídneme přehled několika základních pojmů souvisejících s grafy. Nejedná o definice, spíše o vysvětlení. Není také nutno si je všechny hned zapamatovat, na to si uděláte čas, až budete ten který pojem potřebovat.

ikona boxu
Z historie teorie grafů

Uhodnete, proč používáme právě označení vrcholy a hrany?

Vrcholy (uzly)
„Body“ v grafu, to, co se spojuje hranami. Vrcholy představují objekty, jejichž vztahy modelujeme.
Hrany (spoje)
„Čáry“ v grafu, kterými spojujeme vrcholy. Hrany představují vztahy mezi vrcholy. Hrana je definována vrcholy, které spojuje. Mluvíme proto o hraně A-B, Praha-Brno atp.
Graf
Graf je zachycením vztahů mezi objekty. Je tedy definován svými vrcholy (to jsou ty objekty) a hranami mezi těmito vrcholy (to jsou ty vztahy). Z předchozí věty mj. plyne, že je úplně jedno, jak je graf nakreslený, nebo jestli je vůbec nakreslený. Záleží jen na struktuře vztahů. Dva grafy obsahující stejné vrcholy a stejné hrany jsou stejné. Podobně platí 1 = 3⋅ ⅓ = 0,9, hodnota se jiným zápisem nijak nemění. K této skutečnosti se ještě vrátíme. TODO: alternativně: (síť, schéma, diagram)
Ohodnocení
Někdy potřebujeme k prvkům grafu přiřadit nějaké další informace. Silnice představované hranami mohou být různě dlouhé, hypertextové dokumenty představované vrcholy mají různé adresy apod. Potřebné hodnoty prostě připisujeme poblíž příslušné hrany či vrcholu. Ohodnocení je zpravidla číselné, ale ne nutně.
(Ne)orientovaný graf
Neorientovaný graf nerozlišuje směr hran. To jsou např. silnice mezi městy a přátelství na Facebooku. Orientovaný graf směr rozlišuje, na obrázku to většinou značíme šipkou. To jsou např. jednosměrky ve městě a skutečná náklonnost lidí. Má-li být v orientovaném grafu některý vztah symetrický, použijeme prostě hrany dvě, pro každý směr jednu. V naší učebnici obvykle (pokud neřekneme jinak) uvažujeme grafy neorientované.
(Ne)souvislý graf
Souvislý graf je „jeden kus“, z každého vrcholu lze po hranách docestovat do libovolného jiného vrcholu. Naopak nesouvislý graf tuto vlastnost nesplňuje, takže obsahuje dvě nebo více tzv. komponent souvislosti: partiček přátel, co se spolu nebaví, fyzicky oddělených počítačových sítí apod.
Úplný graf
Graf, ve kterém je každý vrchol spojen hranou (tedy přímo) s každým jiným vrcholem.
Stupeň vrcholu
Počet hran s jedním koncem v daném vrcholu. Typická křižovatka má stupeň 4, křižovatka tvaru T má stupeň 3. Pokud je graf orientovaný, rozlišujeme vstupní a výstupní stupeň vrcholu.

TODO: to asi neni potřeba, uveď to až později

Regulární graf
Graf, jehož všechny vrcholy mají stejný stupeň. Například síť krychle, kde je osm vrcholů a každý má stupeň tři (říkáme také: 3-regulární graf na osmi vrcholech).
Skóre grafu
Posloupnost stupnů v daném grafu. Skóre trojúhelníku je 2,2,2; skóre metanu je 1,1,1,1,4; vody 1,1,2 (chemickou stránku věci zjednodušuju). Skóre tedy charakterizuje graf - lze z něj hrubě odhadovat, jaké má graf vlastnosti, aniž bychom zkoumali, jak je konkrétně nakreslený.
ikona boxu
Ještě obecnější grafy

Kdo si chce hodně namáhat hlavu, uvažuje, jak asi vypadají hypergrafy. V nich hrany nespojují jen dva, ale libovolný počet vrcholů. Geometrická představa už není tak přímočará (žádné jednoduché „body spojené čarami“), hypergrafy nicméně najdou své využití. Lze jimi modelovat např. členství v různých zájmových klubech, kde každá hrana zahrnuje členy jednoho klubu.

Podle situace se někdy hodí uvažovat násobné hrany (z Prahy do Brna mohu po dálnici, nebo vlakem) či smyčky (hrana s oběma konci v tomtéž vrcholu — vzpomeňte např. na tramvajovou smyčku). V této učebnici ale většinou (tedy pokud neuvedeme jinak) násobné hrany ani smyčky uvažovat nebudeme.

O grafech je toho mnoho vyzkoumáno, což je další výhodou jejich použití v rozličných situacích. Když už situaci zachytíme pomocí grafu, můžeme graf známým způsobem zapsat do počítače a použít na něj nějaký už známý postup zpracování TODO: odkazy. Například hledání nejkratší cesty mezi dvěma vrcholy grafu funguje zcela stejně, nezávisle na tom, jestli jde o graf mravenčích chodeb, internetových spojení nebo metabolismu.

Shrnutí

ikona boxu
  • Model je zjednodušení reality, které vynechá její nepodstatné aspekty, čímž zpřehledňuje situaci. Příkladem modelu je planetární model atomu nebo plán městské hromadné dopravy.
  • Každý model je ze své podstaty nepřesný. Pokud jsme ale model nezjednodušili příliš, není nepřesnost na škodu.
  • Veškeré naše uvažování probíhá prostřednictvím modelů, na celou realitu ani nemáme mozkové kapacity.
  • Graf je abstraktní struktura, která zachycuje vztahy mezi dvojicemi objektů.
  • Mezi základní příklady patří modelování sítě silnic spojujících města či sociální sítě vzájemných přátelství. Vrcholy grafu budou představovat města (resp. lidi), hrany budou představovat silnice (resp. „přátelství“).
  • Grafy mohou usnadnit řešení problému tím, že jej přehledně znázorní.
  • Další výhodou je možnost použití již známých postupů, není tak nutno řešit každý problém znova od začátku.